Question

 

如圖所示，在菱形ABCD中，∠DAB = 60°，PA⊥底面ABCD，PA = AB = 2，E、F分別是AB與PD的中點.

(1) 求證：PC⊥BD；

(2) 求證：AF∥平面PEC；

(3) 求二面角P - EC - D的大小.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1) 證明：（1）連接AC，則AC⊥BD。

   ∵PA⊥平面ABCD，AC是斜線PC在平面ABCD

上的射影，∴由三垂線定律得PC⊥BD

    (2)  取PC中點K，連接FK 、EK，

則四邊形AEKF是平行四邊形，

          ∴ AF∥EK，又EK  平面PEC，AF 平面PEC，

          ∴ AF∥平面PEC

          (3)  延長DA、CE交于M，過A作AH⊥CM與H，

          連結(jié)PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

         ∴  ∠PHA為所求二面角P-EC-D的平面角。

∵  E為AB的中點，AE∥CD，∴AM=AD=2 ,

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得EM²=AM²+AEAM·AEcos120°=7,

EM=, 又S_△AME=AH·EM=AM·AE·sim120°,

∴AH = ，∴ tan∠PHA= = .

∴ 二面角P-EC-D的大小為arctan.