Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中點，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC= ．

（1）求證：CF∥平面PAB；
（2）求證：PE⊥平面ABCD；
（3）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AP的中點M，連接MF，MB，

因為M是AP中點，F(xiàn)是PD中點，

所以 ，

又因為 ，

所以四邊形BCFM是平行四邊形，所以FC∥BM，

又FC面ABP，BM面ABP

所以FC∥面ABP

（2）證明：連接CE，

因為在△ABP中，AB=AP=BP，點E是邊AB在的中點，

所以PE⊥AB且 ，

在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以

在△PEC中， ， ， ，

所以PE⊥EC

又因為AB∩EC=E，AB面ABCD，EC面ABCD

所以PE⊥面ABCD

（3）解：取CD中點N，以EB，EN，EP分別為軸x，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，各點坐標(biāo)為：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0）， ，A（﹣1，0，0），

因為：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，面ABP的法向量為

設(shè)面ABP的法向量為 ， ，

，取x0=1，得 ，

由圖可知二面角為銳二面角，設(shè)銳二面角為θ，

，

二面角B﹣PA﹣C余弦值為 ．

【解析】（1）取AP的中點M，連接MF，MB，推導(dǎo)出四邊形BCFM是平行四邊形，從而FC∥BM，由此能證明FC∥面ABP．（2）連接CE，推導(dǎo)出PE⊥AB，PE⊥EC，由此能證明PE⊥面ABCD．（3）取CD中點N，以EB，EN，EP分別為軸x，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣C余弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．