Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 其中P，M是非空數(shù)集，且P∩M=，設f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．
（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；
（II）是否存在實數(shù)a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，請求出滿足條件的實數(shù)a；若不存在，請說明理由；
（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是單調遞增函數(shù)，求集合P，M．

Answer 1

【答案】解：（I）∵P=（﹣∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（﹣∞，0）}=（0，+∞），
∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=﹣x2+2x，x∈[0，4]}=[﹣8，1]．
∴f（P）∪f（M）=[﹣8，+∞）
（II）若﹣3∈M，則f（﹣3）=﹣15[﹣3，2a﹣3]，不符合要求
∴﹣3∈P，從而f（﹣3）=3
∵f（﹣3）=3∈[﹣3，2a﹣3]
∴2a﹣3≥3，得a≥3
若a＞3，則2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1=﹣x2+2x
∵P∩M=，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a
∴x0=2a﹣3≤a，得a≤3，與前提矛盾
∴a=3
此時可取P=[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M=[﹣1，0），滿足題意
（III）∵f（x）是單調遞增函數(shù)，∴對任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M
∴（﹣∞，0）M，同理可證：（1，+∞）P
若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，則1＞f（x0）=﹣ +2x0＞x0 ，
于是[x0 ， ﹣ +2x0]M
記x1=﹣ +2x0∈（0，1），x2=﹣ +2x1 ， …
∴[x0 ， x1]∈M，同理可知[x1 ， x2]∈M，…
由xn+1=﹣ +2xn ， 得1﹣xn+1=1+ ﹣2xn=（1﹣ ）2；
∴1﹣xn=（1﹣ ）2=（1﹣xn﹣2）22=…=（1﹣x0）2n
對于任意x∈[x0 ， 1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然數(shù)nx ， 則
x∈[xnx ， xnx+1]M
∴[x0 ， 1）M
綜上所述，滿足要求的P，M必有如下表示：
P=（0，t）∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1
或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1
或者P=[1，+∞），M=（﹣∞，1]
或者P=（0，+∞），M=（﹣∞，0]
【解析】（I）利用y=|x|的圖象和性質和二次函數(shù)的圖象和性質分別計算此分段函數(shù)兩支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住線索﹣3∈P∪M，逐層深入，先判斷﹣3∈P，得a的范圍，再由已知推理縮小此范圍，最后確定a的值；（III）現(xiàn)根據(jù)函數(shù)的單調性確定∴（﹣∞，0）M，（1，+∞）P，再證明在（0，1）上存在分界點的話，這個分界點應具有怎樣的性質，最后根據(jù)此性質寫出滿足題意的集合P，M