Question

【題目】已知，，是直線上的個(gè)不同的點(diǎn)（，、，均為非零常數(shù)），其中數(shù)列為等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求證：；

（3）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，恒有（和都是不大于的正整數(shù)，且）試探索：若為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得成立？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在滿足要求，理由見解析

【解析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列的定義求證，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.（2）由三點(diǎn)共線，則有①，再將分解為，再代入①中可解.（3）先假設(shè)成立，在坐標(biāo)系中運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得①，再根據(jù)時(shí)，恒有，推出②，再聯(lián)立①②可推出P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)推出P點(diǎn)存在.

（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

因?yàn)?/span>，

所以為定值，

即數(shù)列也是等差數(shù)列

（2）證明：因?yàn)辄c(diǎn)、和都是直線上一點(diǎn)，

故有，，

于是，

即

所以，

令，，

則有；

（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)滿足要求，

則有，

又當(dāng)時(shí)，恒有，

則又有，

所以，

又因?yàn)閿?shù)列成等差數(shù)列，

于是，

所以，

故，

同理，

且點(diǎn)在直線上（是、的中點(diǎn)），

即存在滿足要求．