Question

已知曲線C：y=

4-x2

(0≤x≤2)與函數(shù)f（x）=log_ax及函數(shù)g（x）=a^x，（其中a＞1）的圖象分別交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁²+x₂²的值為（　　）

• A、16
• B、8
• C、4
• D、2

Answer 1

分析：曲線C：y=

4-x2

(0≤x≤2)以原點為圓心以2為半徑在y軸右側(cè)的半圓，函數(shù)f（x）=logax及函數(shù)g（x）=ax互為反函數(shù)，由反函數(shù)的對稱性可知x₂=y₁，再根據(jù)A（x₁，y₁）在曲線C上可知x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．

解答：解：∵y=

4-x2

(0≤x≤2)，∴x²+y²=4（0≤x≤2），
∵曲線C：y=

4-x2

(0≤x≤2)與函數(shù)f（x）=log_ax及函數(shù)g（x）=a^x，（其中a＞1）的圖象分別交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且函數(shù)f（x）=logax及函數(shù)g（x）=ax互為反函數(shù)，
∴A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x對稱，
∴x₂=y₁．∵A（x₁，y₁）在曲線C上，
∴x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．
故答案是4．

點評：函數(shù)f（x）=logax及函數(shù)g（x）=ax互為反函數(shù)，由反函數(shù)意義即對稱性解題．