Question

（2008•湖北模擬）已知曲線C：y=x²（x＞0），過(guò)C上的點(diǎn)A₁（1，1）作曲線C的切線l₁交x軸于點(diǎn)B₁，再過(guò)B₁作y軸的平行線交曲線C于點(diǎn)A₂，再過(guò)A₂作曲線C的切線l₂交x軸于點(diǎn)B₂，再過(guò)B₂作y軸的平行線交曲線C于點(diǎn)A&₃，…，依次作下去，記點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)為a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=（8-2n）a_n，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：0＜T_n≤4．

Answer 1

分析：（I）由y'=2x（x＞0）．知切線l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．所以Bn(

an

2

，  0)．依題意點(diǎn)A_n+1在直線x=

an

2

上，所以數(shù)列{a_n}是1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由bn=

4-2n

2n-2

，知Tn=

2

2-1

+

0

20

+

-2

2

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-2

．由錯(cuò)位相減法能導(dǎo)出Tn=

4n

2n-1

=

n

2n-3

＞0，n≥2時(shí)，Tn-Tn-1=

n

2n-3

-

n-1

2n-4

=

2-n

2n-3

．由n≥2時(shí)，T_n≤T_n-1，知T_n≤T_n-1≤…≤T₂，由此能夠證明0＜T_n≤4．

解答：解（I）∵y'=2x（x＞0）．∴曲線C在點(diǎn)A_n（a_n，a_n²）處的切線l_n的斜率為k_n=2a_n．
∴切線l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
令y₀=0得   x=

an

2

，
∴Bn(

an

2

，  0)．
依題意點(diǎn)A_n+1在直線x=

an

2

上，
∴an+1=

an

2

  (n∈N*)又a₁=1．（4分）
∴數(shù)列{a_n}是1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an=

1

2n-1

．（5分）
（Ⅱ）由已知bn=

4-2n

2n-2

．
∴Tn=

2

2-1

+

0

20

+

-2

2

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-2

．①

1

2

Tn=          

2

20

+

0

2

+

-2

22

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-1

．②
①-②得

1

2

Tn=4+

-2

20

+

-2

21

+

-2

22

+

-2

23

+…+

-2

2n-2

-

4-2n

2n-1

=4-2(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

)-

4-2n

2n-1

=4-2•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-

4-2n

2n-1

=

2n

2n-1

．（9分）
∴Tn=

4n

2n-1

=

n

2n-3

＞0（10分）
又n≥2時(shí)，Tn-Tn-1=

n

2n-3

-

n-1

2n-4

=

2-n

2n-3

．
又當(dāng)n≥2時(shí)，T_n≤T_n-1．
∴T_n≤T_n-1≤…≤T₂．
∴當(dāng)n=2時(shí)，T₁=T₂=4．
∴（T_n）_max=T₂=4，∴T_n≤4．（13分）
綜上0＜T_n≤4．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查通項(xiàng)公式的求法和求證：0＜T_n≤4．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．