【題目】(2015·陜西)已知橢圓E: (a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)0到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為c.
(1)求橢圓E的離心率
(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)=的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程.
【答案】
(1)
(2)
【解析】先寫過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程,再計(jì)算原點(diǎn)o到該直線的距離,進(jìn)而可得橢圓E的離心率;(II)先由(I)知橢圓E的方程,設(shè)AB的方程,聯(lián)立,消去y,可得x1+x2和x1x2的值,進(jìn)而可得k,再利用|AB|=可得b2的值,進(jìn)而可得橢圓E的方程.
試題解析:(I)過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,
則原點(diǎn)O到直線的距離d=,
由d=,得a=2b=2,解得離心率=.
(II)解法一:由(I)知,橢圓E的方程為.x2+4y2=4b2(1)
依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=.
易知,AB不與x軸垂直,設(shè)其直線方程為y=k(x+2)+1,代入(1)得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0
設(shè)A(x1,y1), B (x2, y2 ) 則x1+x2=-, x1·x2=-
由x1+x2=-4,得==-4解得k=
從而.x1·x2=8-2b2.
于是.|AB|=|x1-x2|==
由|AB|=,得=,解得b2=3
故橢圓E的方程為
解法二:由(I)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2. (2)
依題意,點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對稱,且|AB|=.
設(shè)A(x1,y1), B (x2, y2 )則,x12+4y12=4b2 , x22+y22=4b2
兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4, y1+y2=2得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0.
易知,AB不與x軸垂直,則x1≠x2 , 所以AB的斜率kAB==
因此AB直線方程為y=(x+2)+1,代入(2)得x2+4x+8-2b2=0
所以,x1+x2=-4, x1·x2=8-2b2.
于是.|AB|=|x1-x2|==
由|AB|=,得=,解得b2=3.
故橢圓E的方程為.
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(1)求直線的斜率
(2)求橢圓的方程
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,若直線的斜率大于 , 求直線(為原點(diǎn))的斜率的取值范圍
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