Question

【題目】設(shè)橢圓C的方程為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢團(tuán)的上頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，D是線段的中點(diǎn)，且.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為正數(shù)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，分別作軸，軸，垂足分別為E，F，連接，并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)M，N兩點(diǎn).

（�。┡袛�的形狀；

（ⅱ）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（�。�為直角三角形（ⅱ）

【解析】

（1）根據(jù)題意得到，在求出，得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（ⅰ）先設(shè)直線和的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出直線的斜率，得到，從而做出判斷；（ⅱ）先得到四邊形面積是面積的2倍，利用弦長(zhǎng)公式得到，，從而表示出的面積，再利用基本不等式得到其最大值，從而得到四邊形面積的最大值.

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c.

由題意可得，D為的中點(diǎn)，

∴，

∴，∴，

∴橢圓的方程為.

（2）（1）設(shè)直線的方程為，且點(diǎn)P在第一象限，

聯(lián)立消去y得，

顯然，

∴，.

又∵軸，∴，

∴，

∴直線的方程為，

聯(lián)立消去y得，

，

∴.

∵，

∴，

，

∴，

∴，

即為直角三角形.

（ⅱ）根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，四邊形面積是面積的2倍，

由（�。┲�為直角三角形，且，

∴.

又

，

，

∴

.

令，∵，∴，

∴，而在上單調(diào)遞增，

所以，所以

即當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)的面積也達(dá)到最大，

由對(duì)稱性可知，

故當(dāng)時(shí)，最大，

.