Question

已知α、β為銳角，且x（α+β-

π

2

）＞0，若不等式（

cosα

sinβ

）^x＜m-（

cosβ

sinα

）^x對一切非零實數(shù)x都成立，則實數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題先對角α、β進行研究，得到它們的正弦值和余弦值的大小關(guān)系，可知對數(shù)式的底數(shù)與1的大小關(guān)系，再將恒成立的不等式進行參變量分離，利用相應(yīng)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出m的取值范圍，即得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵x（α+β-

π

2

）＞0，
∴（1）當(dāng)x＞0時，
α+β＞

π

2

，α＞

π

2

-β，
∵α、β為銳角，
∴sinα＞sin(

π

2

-β)，
即sinα＞cosβ＞0，0＜

cosβ

sinα

＜1．
同理0＜

cosα

sinβ

＜1．
∵（

cosα

sinβ

）^x＜m-（

cosβ

sinα

）^x
∴m＞(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x，
∵(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x為（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

cosα

)x＜2，
∴m≥2．
（2）當(dāng)x＜0時，
α+β＜

π

2

，α＜

π

2

-β
∵α、β為銳角，
∴sinα＜sin(

π

2

-β)，
即0＜sinα＜cosβ，

cosβ

sinα

＞1．
同理

cosα

sinβ

＞1．．
∵（

cosα

sinβ

）^x＜m-（

cosβ

sinα

）^x
∴m＞(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x，
∵(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x為（-∞，0）上的增函數(shù)，
∴(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

cosα

)x＜2，
∴m≥2．
由（1）（2）知：m≥2．
故答案為：[2，+∞）

點評：本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還考查了化歸轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的思維難度，運算量也較大，屬于難題．