【題目】已知函數(shù),函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若,且在上的最小值為,證明:當(dāng)時(shí),.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),存在唯一零點(diǎn),當(dāng)時(shí),無(wú)零點(diǎn).(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)由題意得的定義域?yàn)?/span>,,然后分和兩種情況討論即可
(2)先由條件求出,然后要證,即證,令,然后利用導(dǎo)數(shù)得出即可
(1)由題意,得的定義域?yàn)?/span>,.
顯然當(dāng)時(shí),恒成立,無(wú)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí),取,
則,即單調(diào)遞增,
又,,
所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).
故當(dāng)時(shí),存在唯一零點(diǎn),當(dāng)時(shí),無(wú)零點(diǎn).
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以,所以.
因?yàn)?/span>,函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,
所以,所以.
又,所以,所以.
根據(jù)題意,要證,即證,只需證.
令,則.
令,則,
所以在上單調(diào)遞增.
又,,
所以有唯一的零點(diǎn).
當(dāng)時(shí),,即,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,即,單調(diào)遞增,
所以.
又因?yàn)?/span>,所以,所以,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線l:x﹣ty+1=0(t>0)和拋物線C:y2=4x相交于不同兩點(diǎn)A、B,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,拋物線C的焦點(diǎn)為F,以MF為直徑的圓與直線l相交另一點(diǎn)為N,且滿足|MN||NF|,則直線l的方程為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從分別寫(xiě)有數(shù)字1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)字不大于第二張卡片的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司準(zhǔn)備上市一款新型轎車(chē)零配件,上市之前擬在其一個(gè)下屬4S店進(jìn)行連續(xù)30天的試銷(xiāo).定價(jià)為1000元/件.試銷(xiāo)結(jié)束后統(tǒng)計(jì)得到該4S店這30天內(nèi)的日銷(xiāo)售量(單位:件)的數(shù)據(jù)如下表:
日銷(xiāo)售量 | 40 | 60 | 80 | 100 |
頻數(shù) | 9 | 12 | 6 | 3 |
(1)若該4S店試銷(xiāo)期間每個(gè)零件的進(jìn)價(jià)為650元/件,求試銷(xiāo)連續(xù)30天中該零件日銷(xiāo)售總利潤(rùn)不低于24500元的頻率;
(2)試銷(xiāo)結(jié)束后,這款零件正式上市,每個(gè)定價(jià)仍為1000元,但生產(chǎn)公司對(duì)該款零件不零售,只提供零件的整箱批發(fā),大箱每箱有60件,批發(fā)價(jià)為550元/件;小箱每箱有45件,批發(fā)價(jià)為600元/件.該4S店決定每天批發(fā)兩箱,根據(jù)公司規(guī)定,當(dāng)天沒(méi)銷(xiāo)售出的零件按批發(fā)價(jià)的9折轉(zhuǎn)給該公司的另一下屬4S店.假設(shè)該4店試銷(xiāo)后的連續(xù)30天的日銷(xiāo)售量(單位:件)的數(shù)據(jù)如下表:
日銷(xiāo)售量 | 50 | 70 | 90 | 110 |
頻數(shù) | 5 | 15 | 8 | 2 |
(。┰O(shè)該4S店試銷(xiāo)結(jié)束后連續(xù)30天每天批發(fā)兩大箱,這30天這款零件的總利潤(rùn);
(ⅱ)以總利潤(rùn)作為決策依據(jù),該4S店試銷(xiāo)結(jié)束后連續(xù)30天每天應(yīng)該批發(fā)兩大箱還是兩小箱?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線:上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換,得到曲線,為與軸負(fù)半軸的交點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為,與曲線的交點(diǎn)分別為,(點(diǎn)在第二象限).
(Ⅰ)寫(xiě)出曲線的普通方程及直線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若,且在上的最小值為,證明:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某科研小組為了研究一種治療新冠肺炎患者的新藥的效果,選50名患者服藥一段時(shí)間后,記錄了這些患者的生理指標(biāo)和的數(shù)據(jù),并統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表(不完整):
合計(jì) | |||
12 | 36 | ||
7 | |||
合計(jì) |
其中在生理指標(biāo)的人中,設(shè)組為生理指標(biāo)的人,組為生理指標(biāo)的人,他們服用這種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位:天)記錄如下:
組:10,11,12,13,14,15,16
組:12,13,15,16,17,14,25
(Ⅰ)填寫(xiě)上表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為患者的兩項(xiàng)生理指標(biāo)和有關(guān)系;
(Ⅱ)從,兩組隨機(jī)各選1人,組選出的人記為甲,組選出的人記為乙,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率.
附:,其中.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),,,,若.
⑴ 求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
⑵ 將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,都有成立,求的取值范圍.
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