【題目】設函數(shù),,其中,e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個極值點,求a的取值范圍;
(2)當,設,,若在上存在兩個極值點,,且,求證: .
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)在上存在兩個極值點,則有兩根,再分離參數(shù),借助導數(shù)研究即可;
(2)要證即證,在上存在兩個極值點,,且,即有兩個零點,,可得,設,則,,即證,,即當時,,設函數(shù),,利用導數(shù)求其單調性及函數(shù)的最值,即可得證.
解:(1),由題意可知,在上有兩個不同的實數(shù)根,
即,只需函數(shù)和圖象有兩個交點,
,易知在上為減函數(shù),且,
當時,,為增函數(shù);當時,,為減函數(shù);
所以,所以,又當,,,,
要使在上存在兩個極值點,則.
故的取值范圍為.
(2)易得,
在上存在兩個極值點,,且
有兩個零點,,
則,解得
于是
又,設則,因此,
要證,即證,
即當時,,設函數(shù),,則
所以,為上的增函數(shù),又,因此
于是,當時,有,
所以,有成立,即,得證
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【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,O是BD的中點,E是棱CC1上任意一點.
(1)證明:BD⊥A1E;
(2)如果AB=2,,OE⊥A1E,求AA1的長.
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【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為且滿足:
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設求的值;
(3)是否存在大于2的正整數(shù)使得?若存在,求出所有符合條件的若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點,若為線段上的動點(不含).
(1)平面與平面是否互相垂直?如果是,請證明;如果不是,請說明理由;
(2)求二面角的余弦值的取值范圍.
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【題目】用一個長為,寬為的矩形鐵皮(如圖1)制作成一個直角圓形彎管(如圖3):先在矩形的中間畫一條曲線,并沿曲線剪開,將所得的兩部分分別卷成體積相等的斜截圓柱狀(如圖2),然后將其中一個適當翻轉拼接成直角圓形彎管(如圖3)(不計拼接損耗部分),并使得直角圓形彎管的體積最大;
(1)求直角圓形彎管(圖3)的體積;
(2)求斜截面橢圓的焦距;
(3)在相應的圖1中建立適當?shù)淖鴺讼,使所畫的曲線的方程為,求出方程并畫出大致圖像;
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD=,O為AC與BD的交點,E為棱PB上一點.
(1)證明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,求三棱錐P-EAD的體積.
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【題目】下面有五個命題:
①函數(shù)的最小正周期是;
②終邊在軸上的角的集合是;
③在同一坐標系中,函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個公共點;
④把函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的圖象;
⑤函數(shù)在上是減函數(shù);
其中真命題的序號是( 。
A.①②⑤B.①④C.③⑤D.②④
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【題目】關于函數(shù),給出以下四個命題:(1)當時,單調遞減且沒有最值;(2)方程一定有實數(shù)解;(3)如果方程(為常數(shù))有解,則解得個數(shù)一定是偶數(shù);(4)是偶函數(shù)且有最小值.其中假命題的序號是____________.
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【題目】關于函數(shù)的對稱性有如下結論:對于給定的函數(shù),如果對于任意的都有成立為常數(shù)),則函數(shù)關于點對稱.
(1)用題設中的結論證明:函數(shù)關于點;
(2)若函數(shù)既關于點對稱,又關于點對稱,且當時,,求:①的值;
②當時,的表達式.
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