【題目】如圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面為上一點(diǎn)，且．

（1）求的長；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)垂直關(guān)系對應(yīng)的向量數(shù)量積為零，即可計(jì)算出的坐標(biāo)，從而可求的長度；

（2）根據(jù)兩個(gè)平面法向量夾角的余弦值，再結(jié)合幾何體中二面角具體是鈍角還是銳角，從而確定出二面角余弦值的大小.

解（1）如圖，連接，因為菱形，

則，且．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

因，故，，

所以．

由知，，

從而，即．

設(shè)，則．

因?yàn)?/span>，故，

即，所以 (舍去)，即．

（2）由（1）知，．

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

由，得故可取，

由，得故可取，

從而法向量的夾角的余弦值為，

故所求二面角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲同學(xué)參加化學(xué)競賽初賽，考試分為筆試、口試、實(shí)驗(yàn)三個(gè)項(xiàng)目，各單項(xiàng)通過考試的概率依次為、、，筆試、口試、實(shí)驗(yàn)通過考試分別記4分、2分、4分，沒通過的項(xiàng)目記0分，各項(xiàng)成績互不影響.

（Ⅰ）若規(guī)定總分不低于8分即可進(jìn)入復(fù)賽，求甲同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽的概率；

（Ⅱ）記三個(gè)項(xiàng)目中通過考試的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，某市建有貫穿東西和南北的兩條垂直公路，，在它們交叉路口點(diǎn)處的東北方向建有一個(gè)荷花池，荷花池的外圍是一條環(huán)形公路，荷花池中的固定觀景臺(tái)位于兩條垂直公路的角平分線上，與環(huán)形公路的交點(diǎn)記作．游客游覽荷花池時(shí)，需沿公路先到達(dá)環(huán)形公路處.為了分流游客，方便游客游覽荷花池，計(jì)劃從靠近公路，的環(huán)形公路上選，兩處（，關(guān)于直線對稱）修建直達(dá)觀景臺(tái)的玻璃棧道，．以，所在的直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，靠近公路，的環(huán)形公路可用曲線近似表示，曲線符合函數(shù)．

（1）若百米，點(diǎn)到的垂直距離為1百米，求玻璃棧道的總長度；

（2）若要使得玻璃棧道的總長度最小為百米，求觀景臺(tái)的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，平面ABCD，是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)為M，又，，點(diǎn)N是CD中點(diǎn)．

（1）求證：平面PAD；

（2）求點(diǎn)M到平面PBC的距離．

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【題目】某保險(xiǎn)公司對一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）：

已知三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元.

（1）求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所或利潤的期望值；

（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：

方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬元；

方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無額外專項(xiàng)開支.

請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 取得極值，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且時(shí)，總有 成立，求的取值范圍.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并說明理由；

（Ⅱ）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成的角．

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【題目】基于移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國，給人們帶來新的出行體驗(yàn)，某共享單車運(yùn)營公司的市場研究人員為了了解公司的經(jīng)營狀況，對公司最近6個(gè)月的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

月份

2018.11

2018.12

2019.01

2019.02

2019.03

2019.04

月份代碼

1

2

3

4

5

6

11

13

16

15

20

21

（1）請用相關(guān)系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合與月份代碼之間的關(guān)系.如果能，請計(jì)算出關(guān)于的線性回歸方程，如果不能，請說明理由；

（2）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴(kuò)大市場，從成本1000元/輛的型車和800元/輛的型車中選購一種，兩款單車使用壽命頻數(shù)如下表：

車型 報(bào)廢年限

1年

2年

3年

4年

總計(jì)

10

30

40

20

100

15

40

35

10

100

經(jīng)測算，平均每輛單車每年能為公司帶來500元的收入，不考慮除采購成本以外的其它成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，用頻率估計(jì)每輛車使用壽命的概率，以平均每輛單車所產(chǎn)生的利潤的估計(jì)值為決策依據(jù)，如果你是公司負(fù)責(zé)人，會(huì)選擇哪款車型？

參考數(shù)據(jù)：，，，.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.

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