Question

對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱(chēng)x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）－1，3（2）0<a<1

【解析】(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f(x)＝x2－x－3，由題意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3，故當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f(x)的不動(dòng)點(diǎn)是－1，3.

(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有兩相異實(shí)根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1，故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，0<a<1