【題目】 如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD= ,PA⊥PD,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD中點.
(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值;
(2)線段上是否存在一點,使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】 (1) .(2)存在,.
【解析】試題分析:由PA=PD, O為AD中點,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得,所以可以O為坐標原點,OC為x軸,OD為y軸, OP為z軸建立空間直角坐標系,然后利用空間向量求解.
試題解析:(1)在中,,為AD的中點,所以,
側(cè)面PAD底面ABCD,PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中,連接,則,以O(shè)為坐標原點,直線OC為X軸,直線OD為Y軸,直線為Z軸建立空間直角坐標系.,,,
所以,直線PB與平面所成角的余弦值為.
(2) 假設(shè)存在,則設(shè)=λ(0<λ<1)
因為=(0,1,﹣1),所以Q(0,λ,1﹣λ).
設(shè)平面CAQ的法向量為=(a,b,c),則,
所以取=(1﹣λ,λ﹣1,λ+1),
平面CAD的法向量=(0,0,1),
因為二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為,
所以=,
所以3λ2﹣10λ+3=0.
所以λ=或λ=3(舍去),
所以=.
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【題目】已知兩圓, 的圓心分別為c1,c2,,P為一個動點,且.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)是否存在過點A(2,0)的直線l與軌跡M交于不同的兩點C,D,使得C1C=C1D?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知圓,圓心為,定點, 為圓上一點,線段上一點滿足,直線上一點,滿足.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)為坐標原點, 是以為直徑的圓,直線與相切,并與軌跡交于不同的兩點.當且滿足時,求面積的取值范圍.
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【題目】某廠家舉行大型的促銷活動,經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時,銷售量萬件滿足(其中, 為正常數(shù)),現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.
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【題目】2015年12月,華中地區(qū)數(shù)城市空氣污染指數(shù)“爆表”,此輪污染為2015年以來最嚴重的污染過程,為了探究車流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如表:
(1)由散點圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(提示數(shù)據(jù): )
(2)利用(1)所求的回歸方程,預測該市車流量為12萬輛時的濃度.
參考公式:回歸直線的方程是,其中, .
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【題目】如圖,等邊三角形的邊長為,且其
三個頂點均在拋物線上.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)動直線與拋物線相切于點,與直線
相交于點.證明以為直徑的圓恒過軸上某定點.
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【題目】一裝有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不計),上下底面均為邊長為5的正三角形,側(cè)棱為10,側(cè)面AA1B1B水平放置,如圖所示,點D、E、F、G分別在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好過點D,E,F,C,且CD=2
(1)證明:DE∥AB;
(Ⅱ)若底面ABC水平放置時,求水面的高
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【題目】設(shè)橢圓: 的左、右焦點分別為,上頂點為A,過點A與垂直的直線交軸負半軸于點,且,若過, , 三點的圓恰好與直線相切.過定點的直線與橢圓交于, 兩點(點在點, 之間).
(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)若實數(shù)滿足,求的取值范圍.
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【題目】函數(shù)f(x)=aln x+bx2圖象上點P(1,f(1))處的切線方程為2x-y-3=0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+m-ln 4在上恰有兩個零點,求實數(shù)m的取值范圍.
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