【題目】已知橢圓的離心率為，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍；

（3）是否在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) ；（2）的縱坐標(biāo)的范圍為;(3) .

【解析】

試題(1)由橢圓定義得的周長(zhǎng)為，再結(jié)合離心率，列方程組解得，，，(2)先以直線的斜率表示它的中垂線方程（結(jié)合韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo)），解出與軸交點(diǎn)，即為點(diǎn)的縱坐標(biāo)： ，再根據(jù)基本不等式求取值范圍，注意討論斜率不存在的情形，(3)軸平分，等價(jià)于，再利用坐標(biāo)表示可得兩根和與積的關(guān)系，最后根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得的值.

試題解析：（1）依題意得，，解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）當(dāng)不存在時(shí)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，

當(dāng)存在時(shí)，由可得，

設(shè)，，

則，，（*）

設(shè)弦有中點(diǎn)為，則，，

則，

令，有 ，

綜上所述，的縱坐標(biāo)的范圍為.

（3）存在滿足條件，

假設(shè)存在使得軸平分，則，

即 ，

有，

將（2）中（*）式代入有，

解得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N．

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；

(2)若，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同于點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；

（Ⅲ）若直線的斜率為2，求證：的外接圓恒過(guò)一個(gè)異于點(diǎn)的定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，過(guò)作的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連交軸于.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證:軸；

（3）記的面積為的面積為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對(duì)他們進(jìn)行年齡狀況和接受教育程度（學(xué)歷）的調(diào)查，其結(jié)果（人數(shù)分布）如表：

（1）用分層抽樣的方法在歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個(gè)容量為的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取人，求至少有人的學(xué)歷為研究生的概率；

（2）在這個(gè)公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取個(gè)人，其中歲以下人，歲以上人，再?gòu)倪@個(gè)人中隨機(jī)抽取出人，此人的年齡為歲以上的概率為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)連線的斜率滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)連線的斜率滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為等腰直角三角形，，將沿底邊上的高線折起到位置，使，如圖所示，分別取的中點(diǎn).

（1）求二面角的余弦值；

（2）判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由．

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【題目】某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，銷售量萬(wàn)件滿足（其中，為正常數(shù)）.現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)件還需投入成本萬(wàn)元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；

（2）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大.

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