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【題目】設函數f(x)=ex+ax2(a∈R).
(1)若函數f(x)在R上單調,且y=f′(x)有零點,求a的值;
(2)若對x∈[0,+∞),有 ≥1,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=ex+2ax,

記g(x)=ex+2ax,則g′(x)=ex+2a,

①a=0時,f(x)=ex,顯然不合題意;

②a>0時,g′(x)>0,f′(x)在R遞增,

∵f′(0)=1>0,f′(﹣ )<0,

故y=f′(x)有唯一零點x1,顯然x∈(﹣∞,x1)時,f′(x)<0,

x∈(x1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在R不單調,不合題意;

③a<0時,由g′(x)=0得x=ln(﹣2a),于是f′(x)在(﹣∞,ln(﹣2a))遞減,

在(ln(﹣2a),+∞)遞增,因此要滿足條件,必須且只需f′[ln(﹣2a)]=0,

即﹣2a+2aln(﹣2a)=0,解得:a=﹣


(2)解:a<0時,若x>﹣ ,則ax+1<0,根據指數函數和冪函數的增長速度知:

存在x0,當x>x0時,必有ex>﹣ax2,即ex+ax2>0,

因此x>max{﹣ ,x0},有 <0,顯然不合題意,

當a≥0時,記h(x)=ex+ax2﹣ax﹣1,則 ≥1當且僅當h(x)≥0,

h′(x)=ex+2ax﹣a,顯然h′(x)在[0,+∞)遞增,

①a≤1時,由h′(0)=1﹣a<1,h′(1)=e+a>0,

得h′(x)=0在[0,+∞)上有且只有1個實數根,

不妨設該實根為x1,當0<x<x1時,h′(x)<0,從而h(x)在(0,x1)遞減,

故x∈(0,x1)時,h(x)<h(0)=0,不合題意,

綜上,a的范圍是[0,1]


【解析】(1)求出函數的導數,通過討論a的范圍結合函數的單調性以及函數的零點求出a的值即可;(2)通過討論a的范圍,根據函數的單調性求出函數的最值,從而確定滿足條件的a的范圍即可.
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本,需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減;求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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