已知離心率為
6
3
的橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓C：x2+（y-3）2=4交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB=120°，C在AB上方，如圖所示，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在過(guò)交點(diǎn)B，斜率存在且不為0的直線l，使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長(zhǎng)相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
（1）如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓C：x2+（y-3）2=4交于A，B兩點(diǎn)，
且∠ACB=120°，C在AB上方，
連接AB，由對(duì)稱(chēng)性知：AB∥x軸，且A，B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴C（0，3），|AC|=|AB|=2，
∴|AB|=
4+4-2×4×cos120°
=2
3
，
∴C到AB的距離d=
4-3
=1，∴A（-
3
，2），B(
3
，2)，（2分）
∴
3
a2
+
4
b2
=1，e=
c
a
=
6
3
，a2=b2+c2，
解得：a2=15，b2=5，（4分），
∴橢圓E：
x2
15
+
y2
5
=1．（5分）
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線l：y-2=k(x-
3
)，（6分）
與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N（x1，y1），與圓的另一個(gè)交點(diǎn)M（x2，y2），
直線代入橢圓方程消去y得：
(3k2+1)x2-3k(
3
k-2)x+9k2-12
3
k-3=0
∴
3
x1=
9k2-12
3
k-3
3k2+1
，解得x1=
3
3
k2-12k-
3
3k2+1
，
同理：x2=
3
k2+2k-
3
k2+1
，（8分）
若直線截兩種曲線所得到的弦長(zhǎng)相等，則B為M，N中點(diǎn)，
∴x1+x2=2
3
，（9分）
即：
3
3
k2-12k-
3
3k2+1
+
3
k2+2k-
3
k2+1
=2
3
，
化簡(jiǎn)整理有：3k3+4
3
k2+5k+2
3
=0，
分解因式：3k3+3
3
k2+
3
k2+5k+2
3
=(k+
3
)(3k2+
3
k+2)=0
解得k=-
3
，∴存在直線l：y=-
3
x+5滿足條件．（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)A，B分別為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
（此題不要求在答題卡上畫(huà)圖）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線x+2y-2=0上
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)直線l：y=x+m與橢圓C相交時(shí)，求m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=x+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為AB直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓
x2
9
+
y2
5
=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過(guò)點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足(
PF
+
PB
)(
PF
-
PB
)=13，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)x1=2，x2=
1
3
，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)T在點(diǎn)P的軌跡上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)直線MN是否經(jīng)過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)（A在M、B之間）．
（1）F為拋物線C的焦點(diǎn)，若|AM|=
5
4
|AF|，求k的值；
（2）如果拋物線C上總存在點(diǎn)Q，使得QA⊥QB，試求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，A，B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
1
2
．點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線l1：x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A的直線l2與圓M交于PQ兩點(diǎn)，且
MP
•
MQ
=-2，求直線l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN
，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)N（1，0）的直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，并且曲線C存在點(diǎn)Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAQB的面積；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=1．
（Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)C1（-1，0）的直線l被圓C2截得的弦長(zhǎng)為
6
5
，求直線l的方程；
（Ⅱ）圓D是以1為半徑，圓心在圓C3：（x+1）2+y2=9上移動(dòng)的動(dòng)圓，若圓D上任意一點(diǎn)P分別作圓C1的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求
C1E
•
C1F
的取值范圍；
（Ⅲ）若動(dòng)圓C同時(shí)平分圓C1的周長(zhǎng)、圓C2的周長(zhǎng)，則動(dòng)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

（A題）已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，直線l是圓在P點(diǎn)處的切線，動(dòng)拋物線以直線l為準(zhǔn)線且恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0），則拋物線焦點(diǎn)F的軌跡為（　�。�
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

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