在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓
x2
9
+
y2
5
=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過(guò)點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足(
PF
+
PB
)(
PF
-
PB
)=13，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)x1=2，x2=
1
3
，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)T在點(diǎn)P的軌跡上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)直線MN是否經(jīng)過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．
（1）由橢圓
x2
9
+
y2
5
=1可得：a2=9，b2=5，c=
9-5
=2．
∴F（2，0），B（3，0）．
設(shè)P（x，y），則
PF
=（2-x，-y），
PB
=（3-x，-y）．
∵滿足(
PF
+
PB
)•(
PF
-
PB
)=13，
∴（5-2x，-2y）•（-1，0）=13，
∴2x-5=13，
化簡(jiǎn)得x=9，
故P的軌跡方程為x=9
（2）由x1=2，
x21
9
+
y21
5
=1及y1＞0得y1=
5
3
，則點(diǎn)M(2，
5
3
)，
從而直線AM的方程為y=
1
3
x+1；
同理可以求得直線BN的方程為y=
5
6
x-
5
2

聯(lián)立兩方程可解得x=7，y=
10
3

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7，
10
3
)．
（3）假設(shè)直線MN過(guò)定點(diǎn)，由T在點(diǎn)P的軌跡上，T（9，m）
直線AT的方程為y=
m
12
(x+3)，直線BT的方程為y=
m
6
(x-3)
點(diǎn)M（x1，y1）滿足
y1=
m
12
(x1+3)
x21
9
+
y21
5
=1
得
(x1-3)(x1+3)
9
=-
m2
122
•
(x1+3)2
5
，
又x1≠3，解得x1=
240-3m2
80+m2
，從而得y1=
40m
80+m2
．
同理：x2=
3m2-60
m2+20
，y2=
-20m
m2+20
．
∴直線MN的方程：y+
20m
m2+20
=
10m
40-m2
(x-
3m2-60
m2+20
)，
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，點(diǎn)F是橢圓W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
1
2
，三角形ABF的面積為
3
3
2
，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對(duì)于x軸上的點(diǎn)P（t，0），橢圓W上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥AQ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N異于橢圓的左右頂點(diǎn)），若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓W的右頂點(diǎn)A，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦點(diǎn)F2，點(diǎn)A是曲線C1，C2在第一象限的交點(diǎn)，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．平面上有點(diǎn)P滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓M，N相交，且直線l1被圓M截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓N截得的弦長(zhǎng)的比為
3
：1，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知直線與橢圓
x2
9
+
y2
4
=1交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，若直線的斜率為k1，直線OP的斜率為k2，則k1k2等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-2）與向量（-1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交x軸于M點(diǎn)，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

直線l：y=k(x-
2
)與雙曲線x2-y2=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為（　�。�
A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓C：x2+（y-3）2=4交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB=120°，C在AB上方，如圖所示，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在過(guò)交點(diǎn)B，斜率存在且不為0的直線l，使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長(zhǎng)相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

一束光線從點(diǎn)（0，1）出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線x+y-2=0反射后，恰好與橢圓x2+
y2
2
=1相切，則反射光線所在的直線方程為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

拋物線y2=2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為-p的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如圖，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，且線段MA，MB，MC與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次組成公差為1的等差數(shù)列，若△AMB的面積是△BMC面積的
1
2
，求直線MB的方程．

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