已知拋物線C:y2=4x的準線與x軸交于M點,過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點(A在M、B之間).
(1)F為拋物線C的焦點,若|AM|=
5
4
|AF|,求k的值;
(2)如果拋物線C上總存在點Q,使得QA⊥QB,試求k的取值范圍.
(1)法一:由已知M(-1,0)(1分)
設A(x1,y1),則|AM|=
1+k2
|x1+1|
,(1分)
|AF|=
(x1-1)2+
y21

=
(x1-1)2+4x1

=|x1+1|,(1分)
由4|AM|=5|AF|得,4
1+k2
=5,
解得k=±
3
4
(2分)
法二:記A點到準線距離為d,直線l的傾斜角為a,
由拋物線的定義知|AM|=
5
4
d,(2分)
∴cosa=±
d
|AM|
4
5
,
∴k=tana=±
3
4
(3分)
(2)設Q(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2
y2=4x
y=k(x+1)
得ky2-4y+4k=0,(1分)
首先由
k≠0
16-16k2>0
得-1<k<1且k≠0
kQA=
y0-y1
x0-x1
=
y0-y1
y20
4
-
y21
4
=
4
y0+y1
,
同理kQB=
4
y0+y2
(2分)
由QA⊥QB得
4
y0+y1
4
y0+y2
=-1
,(2分)
即:y02+y0(y1+y2)+y1y2=-16,
y20
+
4
k
y0+20=0
,(2分)
△=(
4
k
)
2
-80≥0,得-
5
5
≤k≤
5
5
且k≠0,
由-1<k<1且k≠0得,
k的取值范圍為[-
5
5
,0)∪(0,
5
5
](3分)
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1,F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為4(
2
+1),一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設P為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程;
(Ⅱ)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1•k2=1;
(Ⅲ)(此小題僅理科做)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知直線l:y=x+2,與拋物線x2=y交于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點,l與x軸交于點C(xC,0).
(1)求證:
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
;
(2)求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積;
(3)某同學利用TI-Nspire圖形計算器作圖驗證結果時(如圖1所示),嘗試拖動改變直線l與拋物線的方程,發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
1
xC
的結果依然相等(如圖2、圖3所示),你能由此發(fā)現(xiàn)出關于拋物線的一般結論,并進行證明嗎?

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),經(jīng)過點(3,-2)與向量(-1,1)平行的直線l交橢圓C于A,B兩點,交x軸于M點,又
AM
=2
MB

(Ⅰ)求橢圓C長軸長的取值范圍;
(Ⅱ)若|
AB
|=
3
2
2
,求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.
(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點,若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ;
(3)設橢圓C2:4x2+y2=1,若M、N分別是C1、C2上的動點,且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
與圓C:x2+(y-3)2=4交于A,B兩點,且∠ACB=120°,C在AB上方,如圖所示,
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在過交點B,斜率存在且不為0的直線l,使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長相等?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C:y2=x,直線l:y=k(x-1)+1,要使拋物線C上存在關于對稱的兩點,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且經(jīng)過點P(1,
3
2
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設過F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點,問在橢圓C上是否存在一點M,使四邊形AMBF2為平行四邊形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的中心在原點,焦點y在軸上,焦距為2
3
,且過點M(-
13
4
,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)若過點N(
1
2
,1)
的直線l交橢圓C于A、B兩點,且N恰好為AB中點,能否在橢圓C上找到點D,使△ABD的面積最大?若能,求出點D的坐標;若不能,請說明理由.

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同步練習冊答案