如圖，正方體中，已知為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；
（2）當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
(1)詳見(jiàn)解析；(2)直線與平面所成角的正弦是.

試題分析：(1)空間中證線線垂直，一般先證線面垂直.那么在本題中證哪條線垂直哪個(gè)面？從圖形可看出，可證面. (2)思路一、為了求直線與平面所成角的正弦值，首先作出直線在平面內(nèi)的射影. 連設(shè),連，可證得面,這樣便是直線與平面所成角.思路二、由于兩兩垂直，故可分別以為軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解.
試題解析：連設(shè),連.
(1)由面,知,
又, 故面.
再由面便得⊥.

(2)在正中,,而,
又面,平面,且,
故⊥面,于是,為二面角的平面角.
正方體ABCD—中,設(shè)棱長(zhǎng)為,且為棱的中點(diǎn),由平面幾何知識(shí)易得,滿足,故.
再由知面,故是直線與平面所成角.
又,故直線與平面所成角的正弦是.
解二.分別以為軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為.
(1)易得.
設(shè),則, ,從而
,于是
(2)由題設(shè),,則,.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則,即

于是可取,.易得,故若記與的夾角為,則有,故直線與平面所成角的正弦是.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

四棱錐底面是菱形，，,分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面⊥平面；
（2）是上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成的最大角為，求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱中，平面，，，．以
，為鄰邊作平行四邊形，連接和．

（1）求證：∥平面 ；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？若存在，求出的長(zhǎng)；若
不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，
平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）求證:平面；
（3）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點(diǎn)D在棱AB上．

(1)求證：AC⊥B1C；
（2）若D是AB中點(diǎn)，求證：AC1∥平面B1CD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中,為上一點(diǎn)，面面，四邊形為矩形 ，,．
（1）已知,且∥面，求的值;
（2）求證：面,并求點(diǎn)到面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是(    )
A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)是兩條不同的直線, 是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(    )
A．若,則B．若,則
C．若,則D．若,則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)l是一條直線，α，β，γ是不同的平面，則在下列命題中，假命題是________．
①如果α⊥β，那么α內(nèi)一定存在直線平行于β
②如果α不垂直于β，那么α內(nèi)一定不存在直線垂直于β
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④如果α⊥β，l與α，β都相交，那么l與α，β所成的角互余

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