【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若曲線在點處的切線與直線平行,求與滿足的關(guān)系;
(2)當(dāng)時,討論的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時,對任意的,總有成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;(3).
【解析】
(1)求出,由函數(shù)在點處的切線與平行,得,從而可得結(jié)果;(2)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)當(dāng)時,,對任意的恒成立等價于在恒成立. 設(shè),兩次求導(dǎo),可得,從而可得結(jié)果.
(1)由題意,得.
由函數(shù)在點處的切線與平行,得.
即.
(2)當(dāng)時,,
由知.
①當(dāng)時,,在恒成立,
函數(shù)在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時,由,解得或;
由,解得.
函數(shù)在和上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
③當(dāng)時,,解得或;
由,解得.
函數(shù)在和上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
(3)當(dāng)時,,
由,得對任意的恒成立.
,,
在恒成立.
設(shè),則,
令,則,
由,解得.
由,解得;
由,解得.
導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間單增;在區(qū)間單減,
,在上單調(diào)遞減,
,.
故所求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在四棱錐中,底面是正方形,頂點在底面的射影是底面的中心,且各頂點都在同一球面上,若該四棱錐的側(cè)棱長為,體積為4,且四棱錐的高為整數(shù),則此球的半徑等于( )(參考公式:)
A. 2B. C. 4D.
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【題目】已知點P(x,y)是平面內(nèi)的動點,定點F(1,0),定直線l:x=﹣1與x軸交于點E,過點P作PQ⊥l于點Q,且滿足 .
(1)求動點P的軌跡t的方程;
(2)過點F作兩條互相垂直的直線,分別交曲線t于點A,B,和點C,D.設(shè)線段AB和線段CD的中點分別為M和N,記線段MN的中點為K,點O為坐標原點,求直線OK的斜率k的取值范圍.
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【題目】設(shè).
(1)若,且為函數(shù)的一個極值點,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若,且函數(shù)的圖象恒在軸下方,其中是自然對數(shù)的底數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且兩個橢圓的離心率相同,設(shè)O為坐標原點,點A、B分別在橢圓、上,若,則直線AB的斜率k為( ).
A.1B.-1C.D.
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【題目】設(shè)為等差數(shù)列的前n項和,是正項等比數(shù)列,且,.在①,②,③這三個條件中任選一個,回答下列為題:
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)如果(m,),寫出m,n的關(guān)系式,并求.
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【題目】已知函數(shù).
當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
若函數(shù)在上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
若,且對任意,,,都有,求實數(shù)a的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m>0).
(Ⅰ)當(dāng)m=1時,求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若x∈R,t∈R,使得f(x)+|t-1|<|t+1|,求實數(shù)m的取值范圍.
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