Question

【題目】在數(shù)列中，已知，().

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；

（2）若(為非零常數(shù))，問是否存在整數(shù)，使得對任意都有？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，； （2）存在；

【解析】

（1）根據(jù)退位相減得到，得到，得到答案.

（2），根據(jù)單調(diào)性得到恒成立，討論的奇偶性得到答案.

（1）由()①，得（）②，

①﹣②得，即（），（），

由得 ，

所以，，所以成立，

所以（），又，所以，

∴，∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列 .

∴，∴數(shù)列的通項公式是.

（2）,，

要使恒成立，只需恒成立，

即恒成立，

當為奇數(shù)時，恒成立, 而的最小值為1，∴.

當為偶數(shù)時，,恒成立 而最大值為，∴，.

綜上所述，的取值范圍是，又為整數(shù)．

∴存在，使得對任意都有．