【題目】已知雙曲線的左、右頂點分別為,焦點在軸上的橢圓以為頂點,且離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過點的直線交雙曲線右支于另一點,交橢圓于另一點,記,的面積分別為,若,求直線的斜率.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由雙曲線的性質(zhì)可得的坐標(biāo),即可得橢圓中的值,結(jié)合離心率可得的值,進而可得結(jié)果.
(2)設(shè),,直線方程,分別將直線與雙曲線的方程,直線與橢圓的方程聯(lián)立求得,的值,根據(jù)面積關(guān)系可得為和的中點,即,代入解出的值即可.
(1)由題意得,,所以在焦點在軸上橢圓中,
又∵橢圓離心率,結(jié)合,可得,
∴橢圓的方程為.
(2)設(shè),其中,,
由題意可得直線斜率一定存在,故可設(shè)直線方程,
由得,
又∵,即,
由得,
又∵,即,
,的面積分別為,滿足,
可得為和的中點,即,
代入得,
解得
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,已知,().
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;
(2)若(為非零常數(shù)),問是否存在整數(shù),使得對任意都有?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某市在精準(zhǔn)扶貧和生態(tài)文明建設(shè)的專項工作中,為改善農(nóng)村生態(tài)環(huán)境,建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,開展農(nóng)村生活用水排污管道“村村通”.已知排污管道外徑為1米,當(dāng)兩條管道并行經(jīng)過一塊農(nóng)田時,如圖,要求兩根管道最近距離不小于0.25米,埋沒的最小覆土厚度(路面至管頂)不低于0.5米.埋設(shè)管道前先挖掘一條橫截面為等腰梯形的溝渠,且管道所在的兩圓分別與兩腰相切.設(shè).
(1)為了減少農(nóng)田的損毀,則當(dāng)為何值時,挖掘的土方量最少?
(2)水管用吊車放入渠底前需了解吊繩的長度,在(1)的條件下計算長度.
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【題目】某工廠有兩臺不同機器和生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬件,現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取20件,進行品質(zhì)鑒定,鑒定成績的莖葉圖如圖所示:
該產(chǎn)品的質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:鑒定成績達到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為優(yōu)秀;鑒定成績達到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為良好;鑒定成績達到的產(chǎn)品,質(zhì)量等級為合格.將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率.
(1)完成下列列聯(lián)表,以產(chǎn)品等級是否達到良好以上(含良好)為判斷依據(jù),判斷能不能在誤差不超過0.05的情況下,認(rèn)為機器生產(chǎn)的產(chǎn)品比機器生產(chǎn)的產(chǎn)品好;
生產(chǎn)的產(chǎn)品 | 生產(chǎn)的產(chǎn)品 | 合計 | |
良好以上(含良好) | |||
合格 | |||
合計 |
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,從兩臺不同機器和生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取2件,求4件產(chǎn)品中機器生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量多于機器生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量的概率;
(3)已知優(yōu)秀等級產(chǎn)品的利潤為12元/件,良好等級產(chǎn)品的利潤為10元/件,合格等級產(chǎn)品的利潤為5元/件,機器每生產(chǎn)10萬件的成本為20萬元,機器每生產(chǎn)10萬件的成本為30萬元;該工廠決定:按樣本數(shù)據(jù)測算,兩種機器分別生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品,若收益之差達到5萬元以上,則淘汰收益低的機器,若收益之差不超過5萬元,則仍然保留原來的兩臺機器.你認(rèn)為該工廠會仍然保留原來的兩臺機器嗎?
附:獨立性檢驗計算公式:.
臨界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進展情況的調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,環(huán)境治理和保護問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點,參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占.現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出的值;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查,求第2組恰好抽到2人的概率.
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【題目】如圖,在單位正方體中,點P在線段上運動,給出以下四個命題:
異面直線與間的距離為定值;
三棱錐的體積為定值;
異面直線與直線所成的角為定值;
二面角的大小為定值.
其中真命題有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的坐標(biāo).
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【題目】如圖1,在梯形中,,過分別作,,垂足分別為.,,已知,將梯形沿同側(cè)折起,得空間幾何體,如圖2.
(1)若,證明:平面.
(2)若,,是線段上靠近點的三等分點,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點為噴泉,圓心為的中點,其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞.
(1)若當(dāng)時,,求此時的值;
(2)設(shè),且.
(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;
(ii)若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時,觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.
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