Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)．

（1）如果直線過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；

（2）如果，證明直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-3（Ⅱ）過定點(diǎn)，證明過程詳見解析.

【解析】

Ⅰ根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達(dá)出兩個(gè)向量的數(shù)量積．

Ⅱ設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Ⅰ由題意：拋物線焦點(diǎn)為

設(shè)l：代入拋物線消去x得，

，設(shè)，

則，

．

Ⅱ設(shè)l：代入拋物線，消去x得

設(shè)，

則，

令，．

直線l過定點(diǎn)．