Question

已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點(diǎn)F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）如圖所示，若

AM

=

1

4

MB

，求直線l的方程；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點(diǎn)，求橢圓C₁的長軸長的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的p與焦點(diǎn)的關(guān)系即可得到p的值，得到拋物線的方程，設(shè)直線方程為x=my+4與拋物線方程聯(lián)立，利用

AM

=

1

4

MB

，即可求直線l的方程；
（2）求得對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入拋物線的方程可得m的值，再把直線l的方與橢圓的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，由于有公共點(diǎn)，可得△≥0，即可得到a的取值范圍，進(jìn)而得到橢圓長軸長的最小值．

解答： 解：（1）由題意，拋物線C₂的焦點(diǎn)F（1，0），則p=2．
所以方程為：y²=4x．…（2分）
設(shè)直線方程為x=my+4，并設(shè)A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y₂），
因為

AM

=

1

4

MB

，所以y1=-

1

4

y2
聯(lián)立

x=my+4 y2=4x

，可得y²-4my-16=0，有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
因為y1=-

1

4

y2，
所以解得：y₁=-2，y₂=8，m=

3

2

，
所以直線方程為：2x-3y-8=0 …（6分）
（2）求得對稱點(diǎn)P（

8

1+m2

，

-8m

1+m2

），…（8分）
代入拋物線中可得：m=±1，直線l方程為x=±y+4，考
慮到對稱性不妨取x=y+4，橢圓設(shè)為

x2

λ

+

y2

λ-1

=1（λ＞1）
聯(lián)立直線和橢圓并消元整理（2λ-1）y²+8（λ-1）y+λ²+17λ-16=0，…（10分）
因為橢圓與直線有交點(diǎn)，所以△=64（λ-1）²+4（λ-1）（λ-16）（2λ-1）≥0，
解得λ≥

17

2

                              …（12分）
即a²≥

17

2

，所以a≥

34

2

 
所以長軸長的最小值為

34

．                …（13分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率的計算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、軸對稱等基礎(chǔ)知識，需要較強(qiáng)的推理能力和計算能力、分析問題和解決問題的能力．