Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=6，a_n+1+a_n=3•2ⁿ⁺¹，n∈N^*．
（Ⅰ）設(shè)b_n=a_n-2ⁿ⁺¹，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）在數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若1＜r＜s且r，s∈N^*，求證：使得a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列的點(diǎn)列（r，s）在某一條直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）將條件變形，構(gòu)造符合條件的數(shù)列，即可證明數(shù)列{a_n-2ⁿ}是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）假設(shè)在數(shù)列{a_n}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，代入相應(yīng)的項(xiàng)，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（Ⅲ）若a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，則2a_r=a₁+a_s，代入變形整理，對(duì)r、s進(jìn)行討論，可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+1+a_n=3•2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1-2ⁿ⁺²=-a_n+3•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²，
化簡(jiǎn)可得a_n+1-2ⁿ⁺²=-（a_n-2ⁿ⁺¹），
即b_n+1=-b_n，
又a₁=6，
∴b1=a1-22=6-4=2≠0，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b₁=a₁-2¹⁺¹=2，公比q=-1，
得b_n=2×（-1）^n-1，
又b_n=a_n-2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1+2×(-1)n-1．
假設(shè)在數(shù)列{a_n}中存在連續(xù)三項(xiàng)a_k，a_k+1，a_k+2成等差數(shù)列，
則有2×（2^k+1+1+2×（-1）^k+1-1）=2^k+1+2×（-1）^k-1+2^k+2+12×（-1）^k+2-1，
化簡(jiǎn)可得（-1）^k=2^k-1+（-1）^k+1，
當(dāng)k取偶數(shù)2時(shí)，上式成立，
故存在滿(mǎn)足條件的連續(xù)三項(xiàng)a₂，a₃，a₄為成等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：若1＜r＜s且r，s∈N^*，
要使得a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，
則2a_r=a₁+a_s，
即2[2×（-1）^r-1+2^r+1]=6+2×（-1）^s-1+2^s+1，
變形得：2（-1）^r-1+2•2^r=3+（-1）^s-1+2^s，
由于r，s∈N^*且1＜r＜s，下面對(duì)r、s進(jìn)行討論：
①若r，s均為偶數(shù)，則2^s-2^r+1=-4＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；
②若r為奇數(shù)，s為偶數(shù)，則2^s-2^r+1=0，解得s=r+1；
③若r為偶數(shù)，s為奇數(shù)，則2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；
④若r，s均為奇數(shù)，則2^s-2^r+1＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；
綜上①②③④可知，只有當(dāng)r為奇數(shù)，s為偶數(shù)時(shí)，a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，
此時(shí)滿(mǎn)足條件點(diǎn)列（r，s）落在直線y=x+1（其中為正奇數(shù)）上．
∴點(diǎn)列（r，s）在某一條直線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．