【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線 (為參數(shù)),直(為參數(shù)),以為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求與的極坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)時,直線與相交于兩點;過點作的垂線,與曲線的另一個交點為,求的最大值.
【答案】(1),;(2).
【解析】
(1)先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程,再把直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程即可.
(2)方法一,求出點和點的極坐標(biāo), 即可轉(zhuǎn)化成;然后再轉(zhuǎn)化成,最后化簡即可求出最大值;
方法二,利用,推導(dǎo)出為的直徑,列出關(guān)系式, 最后作出均值不等式,即可求解.
(1)因為曲線 (為參數(shù)),
所以曲線的普通方程為:,
由得的極坐標(biāo)方程為.
化簡得:,
因為直線(為參數(shù)),所以直線的極坐標(biāo)方程為:,
(漏寫不扣分)
(2)設(shè)點的極坐標(biāo)為,,則,
點的極坐標(biāo)為,則,
,
所以當(dāng)時,.
解法二:由已知得:,為的直徑,
故有,
,
即.
當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最大值.
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【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】下面四個命題:
①在定義域上單調(diào)遞增;
②若銳角,滿足,則;
③是定義在上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則;
④函數(shù)的一個對稱中心是;
其中真命題的序號為______.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的零點;
(2)當(dāng),求函數(shù)在上的最大值;
(3)對于給定的正數(shù)a,有一個最大的正數(shù),使時,都有,試求出這個正數(shù),并求它的取值范圍.
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【題目】十九大以來,某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步,農(nóng)民年收入也逐年增加.為了制定提升農(nóng)民年收入、實現(xiàn)2020年脫貧的工作計劃,該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計50位農(nóng)民的年平均收入元(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示);
(2)由頻率分布直方圖,可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布,其中近似為年平均收入,近似為樣本方差,經(jīng)計算得,利用該正態(tài)分布,求:
(i)在扶貧攻堅工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn),則最低年收入大約為多少千元?
(ii)為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧,不落一人”的政策要求落實情況,扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨立,問:這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少?
附參考數(shù)據(jù):,若隨機變量X服從正態(tài)分布,則,,.
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【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)設(shè)函數(shù),是否存在非零實數(shù),使得方程恰好有兩個解?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值,則稱為函數(shù)的極值點.設(shè)函數(shù),,a,b,kR.
(1)若為在x=1處的切線.①當(dāng)有兩個極值點,,且滿足·=1時,求b的值及a的取值范圍;②當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個交點,求a的值;
(2)若對滿足“函數(shù)與的圖象總有三個交點P,Q,R”的任意突數(shù)k,都有PQ=QR成立,求a,b,k滿足的條件.
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【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
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【題目】“勾股定理”在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”,三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形.現(xiàn)隨機地向大正方形內(nèi)部區(qū)域投擲飛鏢,若飛鏢落在小正方形區(qū)域的概率是,則直角三角形的兩條直角邊長的比是(長邊:短邊)( )
A.B.C.D.
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