Question

【題目】已知函數

（1）討論的單調性；

（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．對a分類討論，即可得出單調性．
（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，當x=-1時，0≤-+1恒成立．當x＞-1時，a令g（x）=，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解法一：（1）

①當時，

		-1
	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以在上單調遞減，在單調遞增.

②當時，的根為或.

若，即，

		-1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在，上單調遞增，在上單調遞減.

若，即，

在上恒成立，所以在上單調遞增，無減區(qū)間.

若，即，

				-1
	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在，上單調遞增，在上單調遞減.

綜上：

當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；

自時，在上單調遞增，無減區(qū)間；

當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.

（2）因為，所以.

當時，恒成立.

當時，.

令，，

設，

因為在上恒成立，

即在上單調遞增.

又因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，

則，所以.

綜上，的取值范圍為.

解法二：（1）同解法一；

（2）令，

所以，

當時，，則在上單調遞增，

所以，滿足題意.

當時，

令，

因為，即在上單調遞增.

又因為，，

所以在上有唯一的解，記為，

	-	0	+
	↘	極小值	↗

，滿足題意.

當時，，不滿足題意.

綜上，的取值范圍為.