Question

【題目】已知數(shù)列的滿足，前項(xiàng)的和為，且.

（1）求的值；

（2）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）設(shè)，若，求對(duì)所有的正整數(shù)都有成立的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：(1)令得 (2) 因?yàn)?/span>，所以①.所以②，由②-①，得.因?yàn)?/span>，所以.所以，即，

即即可得證（3）由（2）知，因?yàn)?/span>，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列. 由，所以.所以.研究數(shù)列的單調(diào)性求出最小值，變量分離即可得解.

試題解析：

（1）令得.

（2）因?yàn)?/span>，所以①.

所以②，

由②-①，得.

因?yàn)?/span>，所以.

所以，即，

即，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.

（3）由（2）知，因?yàn)?/span>，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以數(shù)列是常數(shù)列.

由，所以.

所以.

因?yàn)?/span>

所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列

當(dāng)時(shí)， ，即的最小值為

由，所以，

而當(dāng)時(shí)， 在遞減， 遞增，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取得，故.