【題目】已知圓的方程為,直線的方程為在直線,過點作圓的切線,切點為.

1)若點的坐標為,求切線的方程;

2)求四邊形面積的最小值;

3)求證:經(jīng)過三點的圓必過定點,并求出所有定點坐標.

【答案】123見解析

【解析】試題分析:1)解:①當切線斜率不存在時,切線方程為;②當切線斜率存在時,設切線方程為根據(jù)直線和圓相切,求得,即可得到直線的方程;

2)由四邊形的面積,得到當最小時,四邊形的面積最小,轉化為點到直線的距離,即可求解,即可求解面積的最小值.

3設點,得到圓心坐標是,進而得到圓的方程,利用圓系方程,進而可判定經(jīng)過三點的圓必過定點.

試題解析:

1①當切線斜率不存在時,切線方程為;

②當切線斜率存在時,設切線方程為,

因為直線和圓相切所以圓心到切線的距離,解得

所以切線方程為,.

故所求切線方程為.

2四邊形的面積,

所以當最小時,四邊形的面積最小.

的最小值是圓心到直線的距離

.

所以四邊形的面積最小值是.

(3)證明:過三點的圓即以為直徑的圓,

設點,則圓心坐標是,

為直徑的圓的方程是 ,

化簡,

.*

,解得.

由于不論為何值,、的坐標都適合方程*),所以經(jīng)過三點的圓必過定點,定點坐標是.

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