Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）試說明是否存在實(shí)數(shù)使的圖象與無公共點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1)最小值為 ；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，（2）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分類討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性，（3）先求函數(shù)最小值，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值的最大值，最后與比較大小即得結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域是.

當(dāng)時(shí)，，所以在為減函數(shù)，

在為增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為.

（2），

若時(shí)，則，在恒成立，所以的增區(qū)間為.

若，則，故當(dāng)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí)的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.

（3）時(shí)，由（2）知在的最小值為，

令，

則，所以在上單調(diào)遞減，

所以，則，

因此存在實(shí)數(shù)使的最小值大于，

故存在實(shí)數(shù)使的圖象與無公共點(diǎn).