Question

【題目】已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且滿足．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點作直線與軌跡交于，兩點，為直線上一點，且滿足，若的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】分析：（1）設，則，利用，即可求解軌跡的方程；

（II）設的方程為，聯(lián)立方程組，求得，又由，得到點，在利用弦長公式和點到直線的距離公式，即可表達的面積，求得的值，進而得到直線的方程；

詳解：（1）設，則，

，，

，，即軌跡的方程為.

（2）法一：顯然直線的斜率存在，設的方程為，

由，消去可得：，

設，，，

，，

即

，

，即

，，即，

，

到直線的距離，

，解得，

直線的方程為或．

法2：（Ⅱ）設,AB的中點為

則

直線的方程為，

過點A,B分別作，因為為AB 的中點，

所以在中，

故是直角梯形的中位線，可得，從而

點到直線的距離為：

因為E點在直線上，所以有，從而

由解得

所以直線的方程為或．