Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE=

3

，若M，N分別是線段DE，CE上的動點，則AM+MN+NB的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由面面垂直性質(zhì)定理，得到AD⊥平面ABCD，從而Rt△ADE中，根據(jù)題中數(shù)據(jù)算出∠AED=∠AED=30°．證出△CDE中，是邊長為2的等邊三角形，從而∠DEC=60°．將四棱錐E-ABCD的側(cè)面沿展開鋪平如圖，在展開圖△ABE中由余弦定理算出AB長等于3，即為AM+MN+NB的最小值．

解答：解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB
∴AD⊥平面ABCD，
可得Rt△ADE中，AD=1，AE=

3

，
∴∠AED=30°，同理得到∠BEC=30°
∵△CDE中，CD=DE=CE=2，∴∠DEC=60°，
將四棱錐E-ABCD的側(cè)面AED、DEC、CEB沿DE、CE展開鋪平如圖，
則展開圖△ABE中，∠AEB=120°，由余弦定理得
AB²=AE²+BE²-2AE•BE•cos120°=3+3-2×3×（-

1

2

）=9，
解之得AB=3，即AM+MN+BN的最小值為3．
故答案為：3．

點評：本題給出四棱錐E-ABCD，求折線AM+MN+BN的最小值．著重考查了面面垂直性質(zhì)定理解三角形和空間問題平面化的思路等知識，屬于中檔題．