在如圖所示的幾何體中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,F(xiàn)是BE的中點(diǎn),AC=BC=1,∠ACB=90°,AE=2CD=2.
(1)證明:DF⊥平面ABE;
(2)求二面角A-BD-F大小的余弦值.
分析:(1)將DF平移到CG的位置,欲證DF⊥平面ABE,即證CG⊥平面ABE,根據(jù)線面垂直的判定定理可知,只需證CG與平面ABE內(nèi)的兩相交直線垂直即可;
(2)過點(diǎn)A作AM⊥BE于M,過點(diǎn)M作MN⊥BD于N,連接AN,∠ANM是二面角A-BD-E的平面角,在Rt△AMN中,利用余弦函數(shù)求出此角.
解答:(1)證明:取AB的中點(diǎn)G,連接CG、FG.
因?yàn)镃D∥AE,GF∥AE,所以CD∥GF.
又因?yàn)镃D=1,GF=
1
2
AE,所以CD=GF.
所以四邊形CDFG是平行四邊形,DF∥CG.(2分)
在等腰Rt△ACB中,G是AB的中點(diǎn),所以CG⊥AB.
因?yàn)镋A⊥平面ABC,CG?平面ABC,所以EA⊥CG.
而AB∩EA=A,所以CG⊥平面ABE.
又因?yàn)镈F∥CG,所以DF⊥平面ABE;
(2)解:因?yàn)镈F⊥平面ABE,DF?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABE.
過點(diǎn)A作AM⊥BE于M,則AM⊥平面BDE,所以AM⊥BD.
過點(diǎn)M作MN⊥BD于N,連接AN,則BD⊥平面AMN,所以BD⊥AN.
所以∠ANM是二面角A-BD-F的平面角,
在Rt△ABE中,AM=
AE•AB
BE
=
2
3
3

因?yàn)锳D=BD=AB=
2
,所以△ABD是等邊三角形.
又AN⊥BD,所以AN=
3
2
AB
=
6
2
,MN=
6
6

在Rt△AMN中,cos∠ANM=
MN
AN
=
1
3

所以二面角A-BD-E的余弦值是
1
3
點(diǎn)評:本題主要考查線面關(guān)系及面面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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2
a,DP∥AM,且AM=
1
2
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13
,且M是BD的中點(diǎn).
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在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面FBC;
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精英家教網(wǎng)在如圖所示的幾何體中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=BD=2AE=2,M是AB的中點(diǎn). 
(1)求證:CM⊥平面ABDE;
(2)求幾何體的體積.

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