Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到， ，進(jìn)而得到切線的方程.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得，則為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，進(jìn)而得到在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，即可證明結(jié)論；

（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值，可得當(dāng)和且時(shí)時(shí)， 零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù),所以

故， ， 曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則

故是上的增函數(shù).

由，故當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .

即當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

函數(shù)的最小值為，由，故有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)， 有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn).