【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,且平面平面.
(1)證明:
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)中點(diǎn)為,連接和,證明平面,即可證明;
(2)由(1)知,、、兩兩垂直,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,即可求出二面角的余弦值.
(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接和,如圖所示,
在中,,為中點(diǎn),所以,
又四邊形為菱形,,所以是等邊三角形,
為中點(diǎn),所以,
又,所以平面,
又因?yàn)?/span>平面,所以.
(2)由(1)知,、、兩兩垂直,
以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
則,,,,
所以,,,
設(shè)平面的法向量,
則,令,則,,
所以;
設(shè)平面的法向量,
則,令,則,,
所以;
因?yàn)槎娼?/span>是銳角,
所以,
即二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在長(zhǎng)方體中,,過,,三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后,得到如圖所示的幾何體,這個(gè)幾何體的體積為.
(1)求棱的長(zhǎng);
(2)求經(jīng)過,,,四點(diǎn)的球的表面積和體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京、張家口2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì),某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言,決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估,該商品原來每件售價(jià)為25元,年銷售8萬(wàn)件.
(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若價(jià)格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價(jià)最多為多少元?
(2)為了抓住申奧契機(jī),擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革,并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬(wàn)作為技改費(fèi)用,投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用,投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問:當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著,其中的“更相減損術(shù)”原文是:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也以等數(shù)約之”即(如果需要對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分,那么)可以折半的話,就折半(也就是用2來約分).如果不可以折半的話,那么就比較分母和分子的大小,用大數(shù)減去小數(shù),互相減來減去,一直到減數(shù)與差相等為止,用這個(gè)相等的數(shù)字來約分.如圖是“更相減損術(shù)”的程序框圖,如果輸入,,則輸出的值是( )
A.72B.70C.34D.36
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:在左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為點(diǎn),若是面積為的等邊三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知,是橢圓上的兩點(diǎn),且,求使的面積最大時(shí)直線的方程(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.
(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,現(xiàn)有4種不同顏色給圖中5個(gè)區(qū)域涂色,要求任意兩個(gè)相鄰區(qū)域不同色,共有______種不同涂色方法;若要求4種顏色都用上且任意兩個(gè)相鄰區(qū)域不同色,共有______種不同涂色方法.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱柱中,底面是以為斜邊的等腰直角三角形,側(cè)面是菱形且與底面垂直,,點(diǎn)是中點(diǎn),點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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