【題目】對(duì)于函數(shù)y=f(x),若x0滿足f(x0)=x0 , 則稱x0為函數(shù)f(x)的一階不動(dòng)點(diǎn),若x0滿足f[f(x0)]=x0 , 則稱x0為函數(shù)f(x)的二階不動(dòng)點(diǎn),
(1)設(shè)f(x)=2x+3,求f(x)的二階不動(dòng)點(diǎn).
(2)若f(x)是定義在區(qū)間D上的增函數(shù),且x0為函數(shù)f(x)的二階不動(dòng)點(diǎn),求證:x0也必是函數(shù)f(x)的一階不動(dòng)點(diǎn);
(3)設(shè)f(x)=ex+x+a,a∈R,若f(x)在[0,1]上存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0 , 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:若f(x)=2x+3,則f[f(x)]=2(2x+3)+3=4x+9,
由f[f(x)]=x,得4x+9=x,解得x=﹣3,
∴函數(shù)f(x)=2x+3的二階不動(dòng)點(diǎn)為x=﹣3
(2)證明:∵x0是函數(shù)f(x)的二階不動(dòng)點(diǎn),
∴f[f(x0]=x0,
記f(x0)=t,則f(t)=x0,
若t<x0,則由f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù),
有f(t)<f(x0),即x0<t,這與假設(shè)t<x0相矛盾;
若t>x0,則由f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù),
有f(t)>f(x0),即x0>t,這與假設(shè)t>x0相矛盾;
∴t=x0,即f(x0)=x0,
∴x0是函數(shù)f(x)的一階不動(dòng)點(diǎn),命題得證
(3)解:函數(shù)f(x)=ex+x+a在R上單調(diào)遞增,
則由(2)可知,若f(x)在[0,1]上存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0,
則f(x)在[0,1]上也必存在一階不動(dòng)點(diǎn)x0;
反之,若f(x)在[0,1]上存在一階不動(dòng)點(diǎn)x0,即f(x0)=x0,
那么f[f(x0]=f(x0)=x0,故f(x)在[0,1]上也存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0.
所以函數(shù)f(x)在[0,1]上存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0等價(jià)于f(x)=x在[0,1]上有解,
即方程ex+x+a=x在[0,1]上有解,
∴a=﹣ex在[0,1]上有解,
由x∈[0,1]可得ex∈[1,e],∴﹣ex∈[﹣e,﹣1],
∴a的取值范圍是[﹣e,﹣1].
【解析】(1)若f(x)=2x+3,則f[f(x)]=4x+9,由f[f(x)]=x,能求出函數(shù)f(x)=2x+3的二階不動(dòng)點(diǎn).(2)由題意f[f(x0]=x0 , 記f(x0)=t,則f(t)=x0 , 若t<x0 , 與假設(shè)t<x0相矛盾;若t>x0 , 與假設(shè)t>x0相矛盾;從而f(x0)=x0 , 由此能證明x0也必是函數(shù)f(x)的一階不動(dòng)點(diǎn).(3)函數(shù)f(x)=ex+x+a在R上單調(diào)遞增,若f(x)在[0,1]上存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0 , 則f(x)在[0,1]上也必存在一階不動(dòng)點(diǎn)x0;推導(dǎo)出方程ex+x+a=x在[0,1]上有解,由此能出a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( )
A.y=x3
B.y=lgx
C.y=|x|
D.y=1﹣x2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a>0且a≠1,則函數(shù)y=loga(x+1)的圖象一定過點(diǎn)( )
A.(1,1)
B.(1,0)
C.(﹣1,0)
D.(0,0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】不等式3≤|5﹣2x|<9的解集為( )
A.[﹣2,1)∪[4,7)
B.(﹣2,1]∪[4,7]
C.(﹣2,1]∪(4,7)
D.(﹣2,1]∪[4,7)
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【題目】若關(guān)于x的方程x2+ax+a2﹣a﹣2=0的一根大于1,另一根小于1,則a的取值范圍為( )
A.0<a<1
B.a>﹣1
C.﹣1<a<1
D.a<1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x﹣2|的最小值為a.
(1)求a的值;
(2)若p,q,r為正實(shí)數(shù),且p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知角α為三角形的一個(gè)內(nèi)角,且滿足sinαtanα<0,則角α是第( )象限角.
A.一
B.二
C.三
D.四
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},則UA=( )
A.{1,3}
B.{3,7,9}
C.{3,5,9}
D.{3,9}
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