【題目】已知函數f(x)=x2+2bx+5(b∈R).
(1)若b=2,試解不等式f(x)<10;
(2)若f(x)在區(qū)間[﹣4,﹣2]上的最小值為﹣11,試求b的值;
(3)若|f(x)﹣5|≤1在區(qū)間(0,1)上恒成立,試求b的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)=x2+4x+5<10,
即x2+4x﹣5<0,
即(x+5)(x﹣1)<0,
解得﹣5<x<1,
故不等式的解集為(﹣5,1)
(2)解:f(x)=x2+2bx+5=(x+b)2﹣b2+5,
其對稱軸為x=﹣b,
當b<﹣4時,在區(qū)間[﹣4,﹣2]上單調遞增,故ymin=16﹣8x+5=﹣11,解得b=4,舍去
當﹣4≤b≤﹣2時,在對稱軸處取最小值,故ymin=﹣b2+5=﹣11,解得b=﹣4,
當b>﹣2時,在區(qū)間[﹣4,﹣2]上單調遞減,故ymin=4﹣4b+5=﹣11,解得b=5,
綜上所述:b的值為﹣4或5
(3)解:|f(x)﹣5|≤1在區(qū)間(0,1)上恒成立,
∴|x2+bx|≤1在區(qū)間(0,1)上恒成立,
∴﹣1≤x2+2bx≤1,
∴﹣x﹣ ≤2b≤﹣x+
∵函數y=﹣x﹣ 在(0,1)上為增函數,y>﹣1﹣1=﹣2,
函數y=﹣x+ 在(0,1)上為減函數,y<﹣1+1=0,
∴﹣2≤2b≤0,
解得﹣1≤b≤0,
故b的取值范圍為[﹣1.0]
【解析】(1)根據一元二次不等式的解法解得即可.(2)根據所給的二次函數的性質,寫出對于對稱軸所在的區(qū)間不同時,對應的函數的最小值,(3)利用函數的單調性分別求出y= ﹣x 的最小值為0,y=﹣x﹣ 的最大值為﹣2,由此求得b的取值范圍.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握當時,拋物線開口向上,函數在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數在上遞增,在上遞減.
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【題目】如圖是直三棱柱,底面是等腰直角三角形,且,直三棱柱的高等于4,線段的中點為,線段的中點為,線段的中點為.
(1)求異面直線、所成角的大;
(2)求三棱錐的體積.
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【題目】已知函數f(x)=log22x﹣mlog2x+2,其中m∈R.
(1)當m=3時,求方程f(x)=0的解;
(2)當x∈[1,2]時,求f(x)的最小值.
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【題目】已知橢圓: 上的任一點到焦點的距離最大值為3,離心率為 ,
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若為曲線上兩點, 為坐標原點,直線 的斜率分別為,且,求直線被圓截得弦長的最大值及此時直線的方程.
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【題目】已知函數f(x)= ,x∈R,a∈R.
(1)a=1時,求證:f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上為單調增函數;
(2)當方程f(x)=3有解時,求a的取值范圍.
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【題目】某農科所發(fā)現,一種作物的年收獲量 (單位: )與它“相近”作物的株數 具有線性相關關系(所謂兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過 ),并分別記錄了相近作物的株數為 時,該作物的年收獲量的相關數據如下:
(1)求該作物的年收獲量 關于它“相近”作物的株數的線性回歸方程;
(2)農科所在如圖所示的正方形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點)處都種了一株該作物,其中每
個小正方形的面積為 ,若在所種作物中隨機選取一株,求它的年收獲量的分布列與數學期望.(注:年收
獲量以線性回歸方程計算所得數據為依據)
附:對于一組數據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估
計分別為, ,
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【題目】某校高三共有800名學生,為了解學生3月月考生物測試情況,根據男女學生人數差異較大,從中隨機抽取了200名學生,記錄他們的分數,并整理得如圖頻率分布直方圖.
(1)若成績不低于60分的為及格,成績不低于80分的為優(yōu)秀,試估計總體中合格的有多少人?優(yōu)秀的有多少人?
(2)已知樣本中有一半的女生分數不小于80,且樣本中不低于80分的男女生人數之比2:3,試估計總體中男生和女生人數的比例.
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【題目】如圖,江的兩岸可近似地看出兩條平行的直線,江岸的一側有, 兩個蔬菜基地,江岸的另一側點處有一個超市.已知、、中任意兩點間的距離為千米,超市欲在之間建一個運輸中轉站, , 兩處的蔬菜運抵處后,再統一經過貨輪運抵處,由于, 兩處蔬菜的差異,這兩處的運輸費用也不同.如果從處出發(fā)的運輸費為每千米元.從處出發(fā)的運輸費為每千米元,貨輪的運輸費為每千米元.
(1)設,試將運輸總費用(單位:元)表示為的函數,并寫出自變量的取值范圍;
(2)問中轉站建在何處時,運輸總費用最?并求出最小值.
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【題目】已知集合A={x|x2≥1}, ,則A∩(RB)=( )
A.(2,+∞)
B.(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)
D.[﹣1,0]∪[2,+∞)
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