Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log22x﹣mlog2x+2，其中m∈R．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求方程f（x）=0的解；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=log2x，則當(dāng)m=3時(shí)，方程f（x）=0可化為：t2﹣3t+2=0，解得：t=1或t=2

所以x=2或x=4

（2）解：令t=log2x，x∈[1，2]，

則t∈[0，1]，y=t2﹣mt+2，

其圖象開口朝上，且以直線x= 為對稱軸；

①當(dāng) ＜0，即m=0時(shí)，

則t=0，即x=1時(shí)，f（x）min=2；

②當(dāng)0≤ ≤1，即0≤m≤2時(shí)，

則t=m，即x=2m時(shí)，f（x）min= +2；

③當(dāng) ＞1，即m＞2時(shí)，

則t=1，即m=2時(shí)，f（x）min=3﹣m；

綜上f（x）min=

【解析】（1）令t=log2x，則當(dāng)m=3時(shí)，方程f（x）=0可化為：t2﹣3t+2=0，解得答案；（2）令t=log2x，x∈[1，2]，則t∈[0，1]，y=t2﹣mt+2，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，需要了解當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，才能得出正確答案．