【題目】已知拋物線,過的直線與拋物線C交于兩點,點A在第一象限,拋物線C兩點處的切線相互垂直.

1)求拋物線C的標準方程;

2)若點P為拋物線C上異于的點,直線均不與軸平行,且直線APBP交拋物線C的準線分別于兩點,.

i)求直線的斜率;

(ⅱ)求的最小值.

【答案】1;(2)(i;(ⅱ)4.

【解析】

1)利用導數(shù)的幾何意義分別求得處切線的斜率,再根據(jù)斜率相乘為,可得的值,即可得答案;

2)(i)根據(jù)可得點橫坐標的關系,再結合韋達定理,可求得斜率;

ii)由(i)易知,設,則,再分別求出點的橫坐標用表示,利用換元法可求得的最值.

1)設.

拋物線C的方程可化為.

拋物線C兩點處的切線的斜率分別為.

由題可知直線l的斜率存在,故可設直線1的方程為,

聯(lián)立,消去y可得

.

,解得.

∴拋物線C的標準方程為;

2)(i)由(1)可得

,可得,

又點A在第一象限,解得.

∴直線AB的斜率為

ii)由(i)易知.

,則.

由題可知,故.

∴直線AP的斜率,同理可得.

∴直線,當時,.

直線,當時,.

.

,

當且僅當,即,也即時,取得最小值4.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形,平面ABCDE是棱PB的中點,且過AEAD的平面與棱PC交于點F.

1)求證:

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A. B.

C. D.

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【題目】“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心,據(jù)此,某網(wǎng)站調(diào)查了人們對生態(tài)文明建設的關注情況,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,參與調(diào)查的人員中關注生態(tài)文明建設的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關注生態(tài)文明建設的人員中隨機選出200人,并將這200人按年齡(單位:歲)分組:第1[15,25),第2[25,35),第3[35,45),第4[45,55),第5[55,65],得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(Ⅰ)求這200人的平均年齡(每一組用該組區(qū)間的中點值作為代表)和年齡的中位數(shù)(保留一位小數(shù));

(Ⅱ)現(xiàn)在要從年齡在第1,2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查,求抽取的3人中恰有2人的年齡在第2組中的概率;

(Ⅲ)若從所有參與調(diào)查的人(人數(shù)很多)中任意選出3人,設這3人中關注生態(tài)文明建設的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.

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【題目】如圖,已知點為拋物線,點為焦點,過點的直線交拋物線于兩點,點在拋物線上,使得的重心軸上,直線軸于點,且在點右側(cè).記的面積為.

(1)求的值及拋物線的標準方程;

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【題目】在某企業(yè)中隨機抽取了5名員工測試他們的藝術愛好指數(shù)和創(chuàng)新靈感指數(shù),統(tǒng)計結果如下表(注:指數(shù)值越高素質(zhì)越優(yōu)秀):

1)求創(chuàng)新靈感指數(shù)關于藝術愛好指數(shù)的線性回歸方程;

2)企業(yè)為提高員工的藝術愛好指數(shù),要求員工選擇音樂和繪畫中的一種進行培訓,培訓音樂次數(shù)對藝術愛好指數(shù)的提高量為,培訓繪畫次數(shù)對藝術愛好指數(shù)的提高量為,其中為參加培訓的某員工已達到的藝術愛好指數(shù).藝術愛好指數(shù)已達到3的員工甲選擇參加音樂培訓,藝術愛好指數(shù)已達到4的員工乙選擇參加繪畫培訓,在他們都培訓了20次后,估計誰的創(chuàng)新靈感指數(shù)更高?

參考公式:回歸方程中,,.

參考數(shù)據(jù):,

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【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標準,其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關系式c為大于0的常數(shù)).按照某項指標測定,當產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下:

尺寸

38

48

58

68

78

88

質(zhì)量

16.8

18.8

20.7

22.4

24

25.5

質(zhì)量與尺寸的比

0.442

0.392

0.357

0.329

0.308

0.290

1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件,記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機變量ξ的分布列和期望;

2)根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理,得相關統(tǒng)計量的值如下表:

75.3

24.6

18.3

101.4

根據(jù)所給統(tǒng)計量,求y關于x的回歸方程.

附:對于樣本,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:.

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