Question

【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式c為大于0的常數(shù)).按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

尺寸	38	48	58	68	78	88
質(zhì)量	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
質(zhì)量與尺寸的比	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

（1）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望；

（2）根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程.

附:對(duì)于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，；（2）

【解析】

（1）優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，可知隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，可知可取的值有，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望；

（2）對(duì)（）兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，得，且，進(jìn)而根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式，可求出，從而可求出，即可得到關(guān)于的回歸方程.

（1）由題意，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，而，

所以隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品.

現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)，

，，

，.

則的分布列為：

	0		2

所以.

（2）對(duì)（）兩邊取自然對(duì)數(shù)得，

令，得，且，根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有，

，

，即，故，

所求關(guān)于的回歸方程為.