如圖,已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)(0,1)且被x軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為1:2,過(guò)點(diǎn)H(0,t)的直線于圓C相交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O。
(1)  求圓C的方程;
(2)  當(dāng)t=1時(shí),求出直線的方程;
(3)  求直線OM的斜率k的取值范圍。

解 (1)因?yàn)槲挥?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823194726159331.png" style="vertical-align:middle;" />軸左側(cè)的圓軸相切于點(diǎn),所以圓心在直線上,
設(shè)圓軸的交點(diǎn)分別為、,
由圓軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為,得,
所以,圓心的坐標(biāo)為
所以圓的方程為:.           …………………4分

(2)當(dāng)時(shí),由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,
,
不妨令,
因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823194726939491.png" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò),
所以,
解得,所以所求直線方程為.…………10分
(3)設(shè)直線的方程為
由題意知,,解之得,
同理得,,解之得. 由(2)知,也滿足題意.
所以的取值范圍是. …………16分
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