已知橢圓的一個焦點(diǎn)數(shù)學(xué)公式，且離心率e滿足數(shù)學(xué)公式成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被點(diǎn)數(shù)學(xué)公式平分．

解：（1），∴，∵，∴a=3…（2分）
∴b2=1，∴…（4分）
（2）假設(shè)存在這樣的直線l，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）
則，作差得（y1+y2）（y1-y2）+9（x1+x2）（x1-x2）=0…（6分）
∵線段MN恰被點(diǎn)平分
∴x1+x2=-1，y1+y2=3
設(shè)直線l的斜率為k，則k=3，∴直線l的方程為y=3x+3…（10分）
檢驗(yàn)：，整理得x2+x=0顯然△＞0
檢驗(yàn)成立，所以存在這樣的直線l…．（12分）
分析：（1）利用橢圓的一個焦點(diǎn)，且離心率e滿足成等比數(shù)列，求出幾何量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用點(diǎn)差法，結(jié)合線段MN恰被點(diǎn)平分，可得直線方程，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的一個焦點(diǎn)為F，若橢圓上存在點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
2
3
C、
2
2
D、
5
9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的一個焦點(diǎn)F1(0，-2
2
)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=-
9
4
2
，且離心率e滿足
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x=-
1
2
平分？若存在，求出l的傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的一個焦點(diǎn)為F1（-3，0），長軸長為10，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，則此橢圓的離心率為
3
5
3
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的一個焦點(diǎn)F1(0，-2
2
)，且離心率e滿足
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被點(diǎn)P(-
1
2
，
3
2
)平分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的一個焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=
1
2
，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

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