Question

函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny=0（m＞-1，n＞0）上，則

1

m+1

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，知A（1，1），點A在直線mx+ny-1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，適時應用“1”的代換是解本題的關(guān)鍵，可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答： 解：由已知定點A坐標為（1，1），由點A在直線mx+ny-1=0上，
∴m+n=1，
又m＞-1，
∴m+1＞0，n＞1，
∴

1

m+1

+

1

n

=

1

2

（m+1+n）（

1

m+1

+

1

n

）=

1

2

（2+

m+1

n

+

n

m+1

）≥

1

2

(2+2

m+1 n • n m+1

)=2，當且僅當m+1=n時取等號．
故答案為：2．

點評：均值不等式是不等式問題中的重要公式，應用十分廣泛．在應用過程中，學生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應有很好的掌握．當均值不等式中等號不成立時，常利用函數(shù)單調(diào)性求最值．也可將已知條件適當變形，再利用均值不等式，使得等號成立．有時也可利用柯西不等式以確保等號成立，取得最值．