Question

(本題滿分13分) 已知函數(shù),函數(shù)
（I）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
（II）若,且函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;
（III）對于（II）中所求的a值，若函數(shù)，恰有三個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù).（Ⅱ）。

試題分析： （1）先求解函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到第一問的解析式。
（2）∵由⑴知當(dāng)時(shí),,
分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號，進(jìn)而判定極值，得到最值。
（3）
所以，方程，有兩個(gè)不等實(shí)根運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來得到。
解: （Ⅰ）∵,
∴當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),
∴當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),.
∴當(dāng)時(shí),函數(shù). （4分）
（Ⅱ）∵由⑴知當(dāng)時(shí),,
∴當(dāng)時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.由，得a="1" (8分)

令，得或x=b
（1）若b>1,則當(dāng)0<x<1時(shí)，，當(dāng)1<x<b,時(shí)，當(dāng)x>b時(shí)，；
（2）若b<1,且b則當(dāng)0<x<b時(shí)，，當(dāng)b<x<1時(shí)，，當(dāng)x>1時(shí)，
所以函數(shù)h(x)有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件為或解得或 
綜合： （13分）
另解：
所以，方程，有兩個(gè)不等實(shí)根，且不含零根
解得： （13分）
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思想來判定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而分析極值，得到最值，同時(shí)對于方程根的問題可以轉(zhuǎn)換為圖像的交點(diǎn)問題解決。