Question

（本題滿分14分）
已知函數(shù)()，.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式：；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，過點(diǎn)是否存在函數(shù)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，對任意，
試比較與的大小(常數(shù)).

Answer 1

(I). (Ⅱ)這樣的切線存在，且只有一條。
(Ⅲ)以，
=.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，以及不等式的求解，以及最值的研究。
（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，進(jìn)而得到解集
（2）假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)，
∴切線方程：將點(diǎn)T代入得到結(jié)論。
（3）對恒成立，所以，構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解最值得到證明。
(I)當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解集為.      3分
(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)，
∴切線方程：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：
，即，       ①
法1：設(shè)，則．………………6分
，在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，
故．
又，注意到在其定義域上的單調(diào)性知僅在內(nèi)有且僅有一根方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條． 8分.
法2：令()，考查，則，
從而在增，減，增. 故，
，而，故在上有唯一解.
從而有唯一解，即切線唯一.
法3：，；
當(dāng)；
所以在單調(diào)遞增。 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234836698803.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程
有必有一解，所以這樣的切線存在，且只有一條。
(Ⅲ)對恒成立，所以，
令，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，.                      10分
得，. 令，，
注意到，即，
所以，
=.              14分