已知函數(shù)f(x)=-alnx,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)f(x)存在最小值時(shí),求其最小值φ(a)的解析式;
(Ⅱ)對(duì)(Ⅰ)中的φ(a),
(。┊(dāng)a∈(0,+∞)時(shí),證明:φ(a)≤1;
(ⅱ)當(dāng)a>0,b>0時(shí),證明:φ′()≤≤φ′().
(Ⅰ)φ(a)=a-alna(a>0);(Ⅱ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性,求最值;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性,分類討論.
試題解析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),得f ′(x)=-=(x>0).
(1)當(dāng)a≤0時(shí),f ′(x)=>0,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),無最小值.
(2)當(dāng)a>0時(shí),令f ′(x)=0,解得x=a2.
當(dāng)0<x<a2時(shí),f ′(x)<0,∴f(x)在(0,a2)上是減函數(shù);
當(dāng)x>a2時(shí),f ′(x)>0,∴f(x)在(a2,+∞)上是增函數(shù).
∴f(x)在x=a2處取得最小值f(a2)=a-alna.
故f(x)的最小值φ(a)的解析式為φ(a)=a-alna(a>0). 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),知φ(a)=a-alna(a>0),
求導(dǎo)數(shù),得φ′(a)=-lna.
(。┝瞀铡(a)=0,解得a=1.
當(dāng)0<a<1時(shí),φ′(a)>0,∴φ(a)在(0,1)上是增函數(shù);
當(dāng)a>1時(shí),φ′(a)<0,∴φ(a)在(1,+∞)上是減函數(shù).
∴φ(a)在a=1處取得最大值φ(1)=1.
故當(dāng)a∈(0,+∞)時(shí),總有φ(a)≤1. 10分
(ⅱ)當(dāng)a>0,b>0時(shí),
=-=-ln, ①
φ′()=-ln()≤-ln, ②
φ′()=-ln()≥-ln=-ln, ③
由①②③,得φ′()≤≤φ′(). 14分
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,最值.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)曲線在與軸交點(diǎn)處的切線為,為的導(dǎo)函數(shù),滿足.
(1)求;
(2)設(shè),,求函數(shù)在上的最大值;
(3)設(shè),若對(duì)于一切,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是的一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),試問過點(diǎn)可作多少條直線與曲線相切?請(qǐng)說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分16分)如圖,某自來水公司要在公路兩側(cè)排水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線排,在路南側(cè)沿直線排,現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)沿直線將與接通.已知,,公路兩側(cè)排管費(fèi)用為每米1萬元,穿過公路的部分的排管費(fèi)用為每米2萬元,設(shè)與所成的小于的角為.
(Ⅰ)求矩形區(qū)域內(nèi)的排管費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求排管的最小費(fèi)用及相應(yīng)的角.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),
(1)求函數(shù)的極大值;
(2)記的導(dǎo)函數(shù)為,若時(shí),恒有成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知常數(shù)、、都是實(shí)數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,的解集為.
(Ⅰ)若的極大值等于,求的極小值;
(Ⅱ)設(shè)不等式的解集為集合,當(dāng)時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(為常數(shù)),且在點(diǎn)處的切線平行于軸.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)討論在定義域上的極值.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com