Question

已知函數(shù)，設曲線在與軸交點處的切線為，為的導函數(shù)，滿足．
（1）求；
（2）設，，求函數(shù)在上的最大值；
（3）設，若對于一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）三次函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù)，由，知其對稱軸，曲線的切線問題，可利用導數(shù)的幾何意義(切點處切線的斜率)列出方程組求解；（2），畫出函數(shù)圖象考察其單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)區(qū)間對的值分類討論求出其最大值；（3）對不等式進行化簡，得恒成立，即，且，對任意的成立，然后又轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，要注意，從而有.
試題解析：（1），∵，
∴函數(shù)的圖象關于直線對稱，，       2分
∵曲線在與軸交點處的切線為，∴切點為，
∴，解得，則        5分
（2）∵，
∴，其圖象如圖           7分
當時，，
當時，，
當時，，

綜上                 10分
（3），，
當時，，所以不等式等價于恒成立，
解得，且，                      13分
由，得，，所以，
又，∵，∴所求的實數(shù)的的取值范圍是    16分
考點：函數(shù)與導數(shù)、曲線的切線、不等式恒成立問題.