Question

設(shè)S₁=1²，S₂=1²+2²+1²，S₃=1²+2²+3²+2²+1²，…，
S_n=1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²，…
用數(shù)學(xué)歸納法證明：公式對所有的正整數(shù)n都成立．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，我們先判斷n=1時(shí)對是否成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，公式成立即可得到公式對所有的正整數(shù)n都成立．
解答：證明：因?yàn)镾_n=1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²，即要證明
1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²=，（A）
（Ⅰ）當(dāng)n=1，左邊=1，右=，故（A）式成立
（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，（A）式成立，即
1²+2²+3²+…+k²+…+3²+2²+1²=
現(xiàn)設(shè)n=k+1，在上式兩邊都加上（k+1）²+k²，得
1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+…+3²+2²+1²=+（k+1）²+k²，
=
=
=
=．
即證得當(dāng)n=k+1時(shí)（A）式也成立根據(jù)（Ⅰ）和（Ⅱ），
（A）式對所有的正整數(shù)n都成立，即證得
點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明n=1時(shí)A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A式成立③證明當(dāng)n=k+1時(shí)，A式也成立④下緒論：A式對所有的正整數(shù)n都成立．