設(shè)S1=12,S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…,
Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,…
用數(shù)學(xué)歸納法證明:公式Sn=
n(2n2+1)3
對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.
分析:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法,由數(shù)學(xué)歸納法的步驟,我們先判斷n=1時(shí)Sn=
n(2n2+1)
3
對(duì)是否成立,然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),公式Sn=
n(2n2+1)
3
成立,只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí),公式Sn=
n(2n2+1)
3
成立即可得到公式Sn=
n(2n2+1)
3
對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.
解答:證明:因?yàn)镾n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,即要證明
12+22+32+…+n2+…+32+22+12=
n(2n2+1)
3
,(A)
(Ⅰ)當(dāng)n=1,左邊=1,右=
1•3
3
=1
,故(A)式成立
(Ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),(A)式成立,即
12+22+32+…+k2+…+32+22+12=
k(2k2+1)
3

現(xiàn)設(shè)n=k+1,在上式兩邊都加上(k+1)2+k2,得
12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+…+32+22+12=
k(2k2+1)
3
+(k+1)2+k2,
=
2k3+k+3(k+1)2+3k2
3

=
k(2k+1)(k+1)+3(k+1)2
3

=
(k+1)(2k2+4k+3)
3

=
(k+1)[2(k+1)2+1]
3

即證得當(dāng)n=k+1時(shí)(A)式也成立根據(jù)(Ⅰ)和(Ⅱ),
(A)式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立,即證得Sn=
n(2n2+1)
3
點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)歸納法的步驟:①證明n=1時(shí)A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),A式成立③證明當(dāng)n=k+1時(shí),A式也成立④下緒論:A式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.
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